Förderverein eines nicht gemeinnützigen Krankenhauses?

Spannende Frage:
verliert ein gemeinnütziger Förderverein eines Krankenhauses seine Gemeinnützigkeit, wenn das Krankenhaus seine Gemeinnützigkeit aufgeben muss? (Z.B. durch Verkauf an einen privaten Träger?)
Ein solcher Fall beschäftigt gerade die Fördervereinsmitglieder in Offenbach, denn das Klinkikum Offenbach ist an die Sana Kliniken AG verkauft und Oberbürgermeister und Sana-Verantwortliche klären derzeit noch den Status der Gemeinnützigkeit.
Sicherheitshalber hat der Förderverein sein gesamtes Guthaben an das Krankenhaus noch vor dem Verkauf nun ausgeschüttet.